Tvärsnittsarea – formler och exempel

Tvärsnittsarea är arean av den tvådimensionella figur som uppstår när ett plan skär genom en tredimensionell kropp. Vilken form och area tvärsnittet får beror både på kroppens form och på var och i vilken riktning snittet görs.

Det är därför inte tillräckligt att veta att objektet är en cylinder eller ett prisma. Man måste också veta hur skärplanet ligger.

Tvärsnittsarea har enheten area

Eftersom ett tvärsnitt är en yta anges resultatet i kvadratenheter, till exempel mm², cm² eller m². Det ska inte blandas ihop med volym, som anges i kubikenheter som cm³ eller m³.

Om alla längder i en formel anges i centimeter blir tvärsnittsarean normalt kvadratcentimeter.

Rektangulärt prisma och kub

Ett rätblock med längd l, bredd b och höjd h kan ge olika rektangulära tvärsnitt beroende på snittets riktning.

Ett snitt parallellt med basen har arean:

A = l × b

Ett vertikalt snitt parallellt med en långsida kan i stället få:

A = l × h

och ett snitt parallellt med kortsidan:

A = b × h

För en kub med sidlängden 3 m blir ett snitt parallellt med en sida en kvadrat med arean 3 × 3 = 9 m².

Observera att man inte multiplicerar tvärsnittsarean med höjden när frågan bara gäller arean. Produkten basarea × höjd är i stället volymen för ett prisma.

Cylinder: snitt vinkelrätt mot axeln

För en rät cirkulär cylinder ger ett plan vinkelrätt mot cylinderns axel en cirkel. Det motsvarar ett snitt parallellt med de cirkulära baserna.

Om cylinderns radie är r blir arean:

A = πr²

Har ett rör en ytterdiameter på 15 cm är ytterradien 7,5 cm. En massiv cylinder med den radien skulle då ha tvärsnittsarean:

A = π × 7,5² ≈ 176,7 cm²

Cylinder: snitt parallellt med axeln

Ett vanligt misstag är att säga att ett snitt parallellt med cylinderns axel blir en cirkel. Det är tvärtom: ett sådant snitt genom en ändlig rät cylinder blir en rektangel.

Om planet går genom cylinderns mitt får rektangeln cylinderns höjd h och diameter 2r:

A = 2r × h

Om det parallella planet ligger vid sidan av centrum blir rektangelns bredd i stället en kortare kord i bascirkeln.

Sneda snitt genom en cylinder

Ett snett plan som skär den krökta ytan på lämpligt sätt kan ge ett elliptiskt tvärsnitt. En ellips med halva storaxeln a och halva lillaxeln b har arean:

A = πab

För en verklig cylinder med ändliga baser måste man också kontrollera att skärplanet inte kapas av cylinderändarna på ett sätt som förändrar tvärsnittets form.

Rör och ihåliga cylindrar

För ett ihåligt cirkulärt rör är materialets tvärsnittsarea skillnaden mellan yttercirkeln och innercirkeln.

Om ytterradien är R och innerradien r blir:

A = π(R² − r²)

Exempel: Ett rör har ytterradien 5 cm och innerradien 4 cm.

A = π(25 − 16) = 9π ≈ 28,3 cm²

Den formeln är vanlig inom teknik när man vill veta hur mycket material som finns i ett rörtvärsnitt.

Sfär: alla plana snitt blir cirklar

När ett plan skär en sfär blir tvärsnittet en cirkel. Den största cirkeln fås när planet går genom sfärens centrum.

Om sfären har radien R och planet går genom centrum är tvärsnittsarean:

A = πR²

Om planet ligger på avståndet d från centrum blir tvärsnittscirkelns radie mindre. Med Pythagoras sats får den radien:

r = √(R² − d²)

och därmed arean:

A = π(R² − d²)

Exempel med en sfär

Anta att en sfär har radien 10 cm och att skärplanet ligger 6 cm från centrum. Då blir tvärsnittets radie:

r = √(10² − 6²) = √64 = 8 cm

Tvärsnittsarean är då:

A = π × 8² = 64π ≈ 201,1 cm²

Ett snitt genom centrum hade varit större: 100π ≈ 314,2 cm².

Hur vet man vilken formel man ska använda?

1. Identifiera den tredimensionella kroppen.
2. Bestäm hur skärplanet ligger i förhållande till bas, axel och centrum.
3. Rita den tvådimensionella figur som faktiskt uppstår.
4. Markera de mått som hör till just den figuren.
5. Använd den vanliga areaformeln för figuren.
6. Kontrollera att svaret anges i kvadratenheter.

Nyckeln är alltså att först förstå geometrin och sedan räkna. Att memorera ”cylinder = πr²” räcker inte eftersom en cylinder kan ge både cirkulära, rektangulära och sneda tvärsnitt.

Tvärsnittsarea i fysik och teknik

Begreppet används långt utanför rena geometriuppgifter. Tvärsnittsarea kan vara relevant för ledare, balkar, rör, vätskeflöden och hållfasthetsberäkningar.

I sådana tillämpningar måste man vara noga med vad som avses: hela objektets yta, materialets area eller den fria öppningen kan vara tre olika storheter.

Vanligt kontrollfel: radie eller diameter?

I cirkelformeln används radien. Om uppgiften ger diametern måste den därför delas med två innan du räknar. En diameter på 10 cm betyder radien 5 cm, så arean blir 25π cm² – inte 100π cm².

Rimlighetskontroll av svaret

Ett snabbt sätt att hitta räknefel är att jämföra med objektets mått. Ett cirkulärt tvärsnitt med radien 5 cm kan inte få arean 500 cm², eftersom 25π bara är knappt 79 cm². Kontrollera också att du inte blandat meter och centimeter i samma beräkning.

Kort sammanfattning

Tvärsnittsarea är arean av den figur som ett snitt genom ett objekt skapar. För ett prisma som skärs parallellt med basen är tvärsnittet lika stort som basen. För en cylinder ger ett snitt vinkelrätt mot axeln en cirkel, medan ett snitt parallellt med axeln ger en rektangel. En sfär ger alltid ett cirkulärt plant snitt, men cirkelns storlek beror på avståndet från centrum.